Оглавление
1. Линии второго порядка
2. Эллипс
3. Каноническое уравнение эллипса
4. Исследование формы эллипса по его уравнению
5. Дополнительные сведенья об эллипсе
6. Теорема
7. Список используемой литературы
Линии второго порядка
Линии второго порядка – это эллипс, гипербола, парабола. Эти кривые представляют собой так называемые конические сечения. Это сечения конуса плоскостью. В зависимости от того, как проходит плоскость получается либо эллипс, либо парабола, либо гипербола. В механике линии второго порядка определяют траектории движения теля в поле центрального тяготения. Так, материальная точка (спутник) движется в поле тяготения Земли по эллипсу. Если его скорость равна второй космической, то по параболе, а если превысит вторую космическую – то по гиперболе.
· Общее уравнение кривой второго порядка – это полином второй степени:
A11 x2 + 2 a12 x y + a22 y2 + 2 a13 x + 2 a23 y + a33 = 0
· В математике доказывается (мы этим займемся через несколько лекций), что путем преобразований координат – поворотов осей и переносов осей можно всегда данное уравнение привести к виду:
A11 x2 + a22 y2 = a33 Или y2= 2px
Такой вид уравнения кривой второго порядка называется каноническим.
Более того, доказывается также, что этими тремя линиями ( эллипс, парабола, гипербола) исчерпываются все линии второго порядка.
Эллипс
Эллипс, его фокусы и главные оси Эллипс как коническое сечение, его фокусы и
директрисы
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение эллипса
Обозначим фокусы через F1 и F2, расстояние между ними через 2c, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов — через 2a (см. рис. 49). По определению 2a > 2c, т. е. a> c.
Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси , а начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: и .
Пусть — произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, , т. е.
(11.5)
Это, по сути, и есть уравнение эллипса.
Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим образом:
,
,
,
,
.
Так как a>с, то . Положим
(11.6)
Тогда последнее уравнение примет вид или
(11.7)
Можно доказать, что уравнение (11.7) равносильно исходному уравнению. Оно называется каноническим уравнением эллипса.
Эллипс — кривая второго порядка.
Исследование формы эллипса по его уравнению
Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.
1. Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, поэтому если точка принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки , , . Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей и , а также относительно точки , которую называют центром эллипса.
2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив , находим две точки и , в которых ось пересекает эллипс (см. рис. 50). Положив в уравнении (11.7) , находим точки пересечения эллипса с осью : и . Точки A1, A2 , B1, B2 называются вершинами эллипса . Отрезки A1A2 и B1B2, а также их длины 2aи 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.
3. Из уравнения (11.7) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства и или и . Следовательно, все точки эллипса .лежаї внутри прямоугольника, образованного прямыми .
4. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых и равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т. е. если возрастает, то уменьшается и наоборот.
Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 50 (овальная замкнутая кривая).
Дополнительные сведения об эллипсе
Форма эллипса зависит от отношения . При эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса (11.7) принимает вид . В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением . Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и o6oзначается буквой ε («эпсилон»):
(11.8)
причем 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде
Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным; если положить ε = 0, то эллипс превращается в окружность.
Теорема
Если — расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса:
Из равенства (11.6) следует, что . Если же , то уравнение (11.7) определяет эллипс, большая ось которого лежит на оси Оу, а малая ось — на оси Ох (см. рис. 52). Фокусы такого эллипса находятся в точках и , где .
Список используемой литературы
1. https://ru.wikipedia.org
2. http://matica.org.ua
3. http://www.znannya.org