Основы сферической астрономии

---

Основные понятия сферической тригонометрии

На основании первого впечатления, в древности, люди представляли, что все светила расположены на вращающейся прозрачной сфере. Для установления – соотношения между дугами, соединяющих светила, углами, образующихся при пересечении дуг, потребовалось создать математический аппарат. Это послужило толчком для создания аппарата сферической тригонометрии.

Основные положения сферической тригонометрии. При всяком сечение сферы плоскостью Мы получаем окружность – круг. Если плоскость проходит через центр, то получается большой круг (БК) (рис.3.1).

Дуга БК является кратчайшим расстоянием на сфере между двумя точками (на плоскости прямая). В сферической тригонометрии рассматриваются только соотношения между дугами БК.

Прямая АА1, проходящая через центр плоскости БК, называется – геометрической осью БК, точки А и А1 – сферические центы БК – полюса. Сам БК по отношению к полюсам называют полярой или экватором. Величина дуг от точек АА1 до экватора (сферическое расстояние) равно 90°.

АКСИОМА ¾ через две точки на сфере, не лежащие на одном диаметре, можно провести большой круг и при том только один.

Дуги больших кругов при пересечение образуют углы, которые называются сферическими.

Рассмотрим сферический угол FAE где FА и EA – стороны. FА=EA = 90 градусов; FE – дуга поляры ( Экватора).

Сферический угол измеряется углом между касательными в точке А, т.е. угол NAM = сф. углу FAE. Из построения угол NAM = углу FOE =дуге FE. Т.е мерой сферического угла является дуга поляры, кроме того мерой сферического угла является и соответствующий ему двугранный угол. Кроме того, ( без доказательства ):

1. Вертикальный сферический угол равен 90°;

2. Сумма смежных сферических углов ровна 180°;

Для решения многих астрономических задач, таких, в частности, как переход от одной системы астрономических координат к другой, определение времени и азимута восхода и захода светил и т.п. рассматривается сферический треугольник и применяются его основные формулы. Сферический треугольник- фигура на сфере, образованная дугами трех больших кругов (рис. 3.1).

В сферической тригонометрии рассматриваются только треугольники со сторонами меньше 180° (эйлеровы треугольники). Углы в сферическом треугольнике, обозначают заглавными буквами, латинским алфавита ( А, В, С), а противолежащие им стороны соответствующими малыми буквами (а, b, с).

По углам треугольники могут быть:  косоугольные, прямоугольные.

По сторонам: разносторонние, равносторонние, равнобедренные, прямосторонние.

Если в сферическом  треугольнике один угол равен 90°, треугольник называется прямоугольным. Сторона, лежащая против прямого угла ¾ гипотенуза, две другие ¾ катеты. Если треугольнике все углы равны 90°, то такой  треугольник называется трижды прямоугольным. В этом случае стороны одновременно и гипотенузы, и катеты.

Если в сферическом треугольнике одна сторона равна 90°, треугольник называется прямосторонним. Сферические треугольники могут быть трижды прямосторонними.

Углы и стороны сферического треугольника измеряются в угловой мере!

На рис. 3.2 изображен косоугольный сферический  треугольник ∆АВС. Углы треугольника: сф.ÐВАС=А; сф.ÐАВС=В; сф.ÐАСВ=С. Стороны сферического треугольника  (мера угловая): дуга  ВС=а;  дуга АС=в; дуга АВ=с.

3.1.1 Свойства сферического треугольника

Сферические треугольники обладают рядом свойств:

1. Любая сторона сф. треугольника меньше суммы и больше разности двух других сторон, т.е.:

а + b > c;      b+ c > a;     с + a > b;

b> a – c ;      a > b – c;    c> b – a;

1. Сумма сторон cф. треугольника больше нуля и меньше 360°, т.е.: 0°<a+b+c<360°;
2. Сумма углов cф. треугольника больше 180° и меньше 540° , т.е.:

180°< A + B + C < 540°, величина  e= A + B + C – 180° – называется сферическ4им избытком (эксцессом);

1. Сумма двух углов без третьего должна быть меньше 180° градусов

A + B – C <180° ;

1. Если сумма двух углов сферического треугольника больше, равна или меньше 180°, то и сумма двух противоположным им сторон больше, равна или меньше 180°;
2. Если разность двух сторон сферического треугольника больше, равна или меньше нуля, то разность противолежащих им углов соответственно больше, равна или меньше нуля, т.е., если  a – b > 0, то и A – B >0  и т.д..

Для прямоугольных сферических треугольников должна выполняться ещё  два условия:

1. Число сторон, больше 90° – должно быть чётное, а меньше 90° – не чётное;
2.  Катет и противолежащий ему угол, всегда лежат в одной четверти.

3.1.2 Решение сферического треугольника

Решить сферический треугольник значит по известным элементам найти неизвестные. Сферический треугольник определяется тремя элементами, т.е. по любым трём известным, можно найти три неизвестные; Это сочетание известных элементов сводится к следующим основным вариантом:

а)  по трём сторонам;

б)  по трём углам;

в) по двум сторонам и углу между ними;

г) по двум угла и стороне между ними;

д) по двум сторонам и углу противолежащему одной из них;

е) по двум углам и стороне, противолежащей одному из них.

Общее число сочетаний (вариантов) для косоугольного треугольника определяется выражением из теории вероятности: С3,6 = 6х5х4/1х2х3 = 20; для прямоугольного: С3,5 = 5х4х3 /1х2х3 = 10

Решают сферические треугольники по формулам сферической тригонометрии (мы их записываем без доказательств);

Наиболее часто используются следующие формулы:

1. формула косинусов стороны;
2. формула синусов;
3. формула пяти элементов ( произведение синуса стороны на косинус прилежащего угла);
4. формула котангенсов четырех элементов;
5. формула косинусов угла;

Формулы косинусов сторон:

cosа= cosb cosс+sinв sinс cosА

cosb= cosа cosс+sinа sinс cosВ                                                                                  (3.1)

cosс= cosb cosа+sinв sinа cosС                                                                                 

-косинус стороны равен произведению косинусов двух других сторон  плюс произведение синусов этих сторон , умноженное на косинус угла между ними.

Формула косинусов углов:

cosА=- cosВ cosС+sinВ sinС cosа

cosВ=- cosА cosС+sinа sinС cosb                                                                                       (3.2)

cosС=- cosВ cosА+sinВ sinА cosс

-косинус угла равен произведению косинусов двух других углов со знаком  минус плюс произведение синусов этих углов  , умноженное на косинус стороны между ними.

Формула синусов:

sinА /sinа=sinВ /sinb =sinС/ sinс                                                                                         (3.3)

− отношение синуса угла к синусу противолежащей стороны одинаково для всех вершин сферического треугольника.

Формулу синусов можно (и удобно ) расписать так:

sin А sinb =sinВ sinа                                                                                                          

sinА sinс =sinС sinа                                                                                                             (3.4)

sin В sinс =sinС sinb                                                                                                           (3.10)

Формула пяти элементов:

sina×cosB=cosb×sinc-sinb×cosc×cosA                                                                                (3.5)

– синус стороны, умноженный на косинус прилежащего угла, равен косинусу стороны, противолежащей углу, умноженному на синус третьей стороны, минус произведение синуса второй стороны на косинус третьей стороны и на косинус угла между ними. Остальные пять формул аналогичные (11), можно получить круговой перестановкой элементов треугольника.

Формула четырех элементов (котангенсов):

cosc×cosA=sinc×ctgb-ctgB×sinA                                                                                        (3.6)

– произведение косинуса стороны  на косинус прилегающего угла равно произведению синуса той же стороны на котангенс второй прилегающей стороны к первому углу минус произведение котангенса угла противолежащего второй стороне на синус первого угла.

Существуют и другие формулы: аналогии Непера, формулы Борда, Мольвейде и другие [1-3].

Для решения прямоугольных сферических треугольников применяется правило Непера – Модюи:

Косинус какого-либо элемента равен произведению котангенсов смежных с ним элементов или произведению синусов не смежных;

Дополнительные условия :

1. Катеты берутся как дополнение до  90 градусов;
2. Прямой угол не учитывается при определении смежных  или несмежных элементов, т.е  катеты – смежные элементы (лежащие рядом ) :

сos ( 90 – b ) = sin b = tg c×ctg C ;                                                                     

cos ( 90 – b ) = sin b = sina×sin B;                                                                     

сos ( 90 – b ) = ctg ( 90 – c ) ×ctg C;

сos ( 90 – b ) = sin a × sin B.

Небесная сфера, основные точки и круги.

Одной из важнейших астрономических задач, без которой невозможно решение всех остальных задач астрономии, является определение положения небесного светила на небесной сфере.

Небесная сфера -это воображаемая сфера произвольного радиуса, на которую мы проектируем положение всех небесных светил. Центр отой сферы может совпадать с глазом наблюдателя, центром Земли, Солнца и т.д. Расстояния на небесной сфере можно измерять только в угловых единицах, в градусах, минутах, секундах или радианах. Например, угловые диаметры Луны и Солнца равны примерно 0,5°. На рис. 3.3а и рис.3.3б дан чертёж небесной сферы.

Одним из основных направлений на поверхности Земли является отвесная линия ZZ¢ (рис. 3.3а), проходящая через центр небесной сферы. Отвесная линия пересекается с небесной сферой над головой наблюдателя в точке зенита Z и в противоположной зениту точке надира Z’. Плоскость (SWNE) перпендикулярная отвесной линии и проходящая через центр небесной сферы, называется плоскость математического горизонта (математический горизонт не совпадает с видимым горизонтом). Большие круги проходящие через зенит и надир называются вертикалами или кругами высоты.

В северном полушарии небесная сфера вращается вокруг точки, называемой ¾ северный полюс мира (Р_N), в южном такая же точка называется южный полюс мира (Р_S). Соединяющая их ось Р_NР_S, называется ось мира. Большой круг, проходящий через полюса, зенит и надир (P_NZP_SZ’) называется – небесный меридиан. Небесный меридиан пересекается с математическим горизонтом в точке севера (N) и точке юга (S). Линия NS – называется полуденной линией. Малый круг параллельный горизонту называется – кругом равных высот или альмукантаратом.

Небесным экватором называется большой круг, перпендикулярный оси мира, проходящий через центр небесной сферы. Небесный экватор пересекается с математическим горизонтом в точках востока E и запада W. Точки запада и востока отстоят от точек севера и юга на 90°. Небесный экватор пересекается с меридианом в верхней точке экватора Q и нижней точке экватора Q’. Большие круги, проходящие через полюса, называются – кругами склонений. Малый круг параллельный экватору называется ¾ суточной параллелью.

Вертикал, проходящий через точки W и E называется ¾ первым вертикалом.

Видимый годовой путь центра солнечного диска по небесной сфере (рис.3.3б) называется ¾ эклиптика (^ЭdЭ¢). Эклиптика наклонена к экватору под углом .Перемещение Солнца по эклиптике вызвано годовым движением Земли вокруг Солнца. Центр солнечного диска пересекает небесный экватор два раза в году – в марте и в сентябре. Точки пересечения эклиптики с небесным экватором называются точками весеннего и осеннего равноденствия. Они обозначаются значками созвездий Овна ^ и Весов d. Через точку весеннего равноденствия Солнце переходит из южного полушария небесной сферы в северное (»21 марта). Через точку осеннего равноденствия Солнце переходит из северного полушария небесной сферы в южное (»23 сентября).

Точка летнего солнцестояния – находится на границе созвездий Тельца и Близнецов (обозначается зодиакальным знаком Рака). В ней Солнце имеет максимальное склонение δ = +23°26´ (»22 июня). Точка зимнего солнцестояния – находится в созвездии Стрельца и обозначается знаком Козерога . В ней Солнце имеет минимальное склонение δ = –23°26´ (»22 декабря). Дни солнцестояния, как и дни равноденствия, могут меняться. Связано это с тем, что в году не 365 суток, а немного больше. Точки солнцестояния отстоят от точек равноденствия на 90°.

Системы небесных координат

Положение небесных светил на небесной сфере однозначно определяется двумя сферическими координатами. Сферические координаты точки представляют собой дуги больших кругов сферы, выраженные в градусной или часовой мере. Хорошо известным примером таких сферических координат являются координаты точки на поверхности Земли – широта и долгота. Существует несколько систем астрономических координат. Эти системы отличаются одна от другой выбором основной плоскости и началом отсчета.

3.3.1 Горизонтальная система координат

Основной плоскостью является плоскость математического горизонта, а началом отсчета – точка юга S. Координатами являются высота и азимут (рис. 3.4).

Угловое расстояние от истинного горизонта, измеряемое по вертикалу светила (аналог широты), это – высота светила над горизонтом, h. Высота светила может изменяться в пределах от -90^o до 90^o. Отрицательная высота означает, что светило находится под горизонтом. Пример: высота зенита равна 90^o.

Вместо высоты светила в качестве первой горизонтальной координаты часто употребляют зенитное расстояние z ¾ угловое расстояние светила от зенита, измеряемое по вертикалу светила. Существует простая связь между зенитным расстоянием и высотой светила

z+h=90° .

Зенитное расстояние может изменяться в пределах от 0^o до 180^o, причем светила с зенитным расстоянием больше 90^o лежат ниже горизонта и являются ненаблюдаемыми.

Второй горизонтальной координатой является азимут А – это угловое расстояние от точки юга S до пересечения вертикала светила с горизонтом, отсчитываемое вдоль горизонта по часовой стрелке. Азимут может принимать значения от 0^o до 360^o.

Обе координаты горизонтальной системы изменяются при суточном вращении небесной сферы.

3.3.2 Первая экваториальная система координат

Основной плоскостью является плоскость небесного экватора, началом отсчета ¾ верхняя точка экватора Q. Координатами являются склонение δ и часовой угол t (рис. 3.5).

Склонение светила, – это угловое расстояние от небесного экватора до светила, отсчитываемое по кругу склонений. Склонение изменяется в пределах от -90^o до 90^o, причем светила с δ> 0 находятся к северу от экватора, а с δ<0 – к югу от него.

Иногда вместо склонения используется полярное расстояние, p (или D), – это угловое расстояние от светила до полюса. Часовой угол, t, – это дуга небесного экватора между небесным меридианом и кругом склонения светила. Отсчитывается от точки Q по часовой стрелке. Изменяется в пределах от 0^o до 360^o в градусной мере или от 0^h до 24^h в часовой мере (360^o соответствует 24^h, 1^h – 15^o, 1^m — 15′, 1^s – 15″). Часовой угол звёзд изменяется при суточногм вращении небесной сферы, так как в начало отсчета привязано к вращающейся Земле (точка Q лежат на небесном меридиане). Значит, для того, чтобы координаты звезд не изменялись из-за суточного вращения, необходимо выбрать точку отсчета, неподвижную относительно звезд и участвующую в суточном вращении. В качестве такой точки отсчета была выбрана точка весеннего равноденствия, и система координат, в которой звезды не изменяют свои координаты из-за суточного вращения, называется второй экваториальной системой координат.

3.3.3 Вторая экваториальная система координат

Во второй экваториальной системе координат основной плоскостью, как и в первой, является плоскость небесного экватора, а началом отсчета – точка весеннего равноденствия (рис. 3.6). Первой координатой также является склонение d. Второй координатой, прямым восхождением a, является дуга небесного экватора от точки весеннего равноденствия до круга склонения светила, отсчитываемая против часовой стрелки. Как и часовой угол, прямое восхождение измеряется в часовой мере.

Сумма часового угла светила и его прямого восхождения называется звёздным временем и обозначается s или S. Ещё одно определение звёздного времени – часовой угол точки весеннего равноденствия является мерой звездного времени s:

s = t_g = t + a.

Более подробно о звёздном времени будет сказано в разделе 3.11.

3.3.4 Эклиптическая система координат

Главной плоскостью в эклиптической системе координат является плоскость эклиптики. Северный полюс эклиптики обозначим через П_N; по определению дуга  P_NП_N    равна примерно 23,5°.    Южный полюс эклиптики обозначим как  П_S, а  П_NП_S – ось эклиптики (рис. 3.7).

Линия пересечения двух плоскостей – небесного экватора и эклиптики называется линией узлов. Эклиптика делит небесную сферу на два полушария: северное и южное.

Большой круг, проведенный через полюсы эклиптики и небесный объект, называется кругом широты. Дуга круга широты AS , отсчитываемая от плоскости эклиптики, называется эклиптической широтой b. Широта положительна в северном и отрицательна в южном полушарии.

Второй координатой является эклиптическая долгота l, равная двугранному углу между большим кругом, который проходит через полюсы эклиптики и динамическую точку весеннего равноденствия, и кругом широты:

^A=l .

 Долгота измеряется от точки весеннего равноденствия от 0°   до 360°  против часовой стрелки, если смотреть с северного полюса

3.3.5 Географическая система координат

История появления географической системы координат уходит в глубину веков. Известно, что Гиппарх (2-ой век до н.э.) предлагал новые методы определения широты и долготы. Он же ввёл географическую сетку параллелей и меридианов. Способ определения широты по Солнцу был известен задолго до него. Необходимость определения координат точек земной поверхности скорее всего возникла при утверждении идей о шарообразности Земли.

Основные понятия географической системы координат. Ось вращения пересекает поверхность Земли в двух точках: в северном географическом полюсе РN и южном PS. Северный географический полюс тот, со стороны которого вращение Земли происходит против часовой стрелки. Большой круг на поверхности Земли q’ G’ O’ q (рис.3.8а), плоскость которого перпендикулярна к оси вращения, называется земным экватором. Он делит поверхность Земли на два полушария: северное (с северным полюсом Р_N) и южное (с южным полюсом P_S).

Малые круги, плоскости которых параллельны плоскости земного экватора, называются географическими параллелями. Географическая параллель (bb), отстоящая на 23° 26′ к северу от экватора, называется северным тропиком; параллель (cc), отстоящая на 23° 26′ к югу от экватора, — южным тропиком. Географические параллели, отстоящие на 23° 26′ от полюсов Земли, называются полярными кругами — северным (аа) и южным (dd). Положение этих кругов связано с наклоном оси вращения Земли к перпендикуляру к плоскости орбиты Земли на угол 23° 26′. Севернее северного полярного круга и южнее южного хотя бы раз в году наступает полярная ночь. Южнее северного тропика и севернее южного тропика Солнце в полдень хотя бы раз в году проходит зенит.

Пояс земной поверхности между тропиками (включая экватор) называется жарким или тропическим поясом. Пояс между северным тропиком и северным полярным кругом называется северным умеренным поясом, а между южным тропиком и южным полярным кругом — южным умеренным поясом. Области земной поверхности за полярными кругами называются северным холодным и южным холодным поясами.

Большой полукруг PNOO’PS, проходящий через географические полюсы Земли и через точку О на ее поверхности, называется географическим меридианом точки О. Географический меридиан PNGG’PS, проходящий через Гринвичскую обсерваторию в Англии, считается нулевым или начальным меридианом. Нулевой меридиан и меридиан, отстоящий от нулевого на 180°, делят поверхность Земли на два полушария: восточное и западное. Прямая линия ТО, по которой направлена сила тяжести в данной точке Земли, называется отвесной или вертикальной линией.

Положение точки О на земной поверхности однозначно определяется двумя географическими координатами: географической широтой ¾ j и географической долготой ¾ l.

Географической широтой j точки О называется угол О’ТО между плоскостью земного экватора и отвесной линией, проходящей через точку О. Географические широты отсчитываются от экватора в пределах от 0° до +90° (северная широта), если точки лежат в северном полушарии Земли, и от 0° до —90° (южная широта), если точки лежат в южном полушарии.

Географической долготой l точки О называется двугранный угол G’TO’ между плоскостями начального меридиана и меридиана, проходящего через точку О. В СССР и России принято отсчитывать географическую долготу к востоку от начального меридиана, т.е. в сторону вращения Земли, в пределах от 0° до 360° (в градусной мере), или от 0^h до 24^h (в часовой мере). В 1982 году решением XVIII Генеральной Ассамблеи (ГА) Международного Астрономического Союза (МАС) это правило принято для всех астрономических вычислений. Географы, как правило, отсчитывают долготу в пределах от 0 до +180° к востоку (восточная долгота) и от 0 до —180° к западу (западная долгота) (рис.3.8б).

При решении многих астрономических задач можно считать, что Земля представляет собой однородный шар радиусом R = 6370 км. В этом случае направление отвесной линии в любой точке земной поверхности проходит через центр Земли и совпадает с ее радиусом, а географические меридианы и экватор будут окружностями одинакового радиуса, равного радиусу Земли. И тогда географическая широта какой-либо точки на Земле может быть измерена дугой меридиана от экватора до данной точки, а географическая долгота — дугой экватора от начального меридиана до меридиана, проходящего через данную точку.

При решении задач, требующих более точных значений размеров и формы Земли, последняя принимается за эллипсоид вращения (сфероид) с неоднородным распределением масс. В этом случае отвесная линия не для всех точек земной поверхности будет проходить через центр сфероида Т (рис. 3.9), а будет пересекать плоскость земного экватора в некоторой другой точке T1, не совпадая с радиусом-вектором, т.е. с прямой ТО, соединяющей центр сфероида с точкой О.

Вследствие неравномерного распределения масс в области данной точки отвесная линия Т1O может также не совпадать и с нормалью Т2О к поверхности сфероида, т.е. с перпендикуляром к касательной плоскости в данной точке О Земли. По этому для каждой точки на поверхности Земли необходимо различать три вида географической широты: астрономическую, геоцентрическую и геодезическую.

Астрономической широтой j называется угол OT1q между плоскостью земного экватора и отвесной линией в данной точке.

Геоцентрической широтой j¢ называется угол OTq между плоскостью земного экватора и радиусом-вектором данной точки О.

Геодезической широтой В называется угол OT2q между плоскостью земного экватора и нормалью к сфероиду в данной точке.

Астрономической широтой j называется угол OT1q между плоскостью земного экватора и отвесной линией в данной точке. Геоцентрической широтой j¢ называется угол OTq между плоскостью земного экватора и радиусом-вектором данной точки О.Геодезической широтой В называется угол OT2q между плоскостью земного экватора и нормалью к сфероиду в данной точке. Непосредственно из астрономических наблюдений определяется только астрономическая широта j. Из геодезических и гравиметрических измерений определяется уклонение отвеса в данной точке, т.е. несовпадение отвесной линии с нормалью, которое дает возможность из астрономической широты получить геодезическую. Уклонение отвеса, как правило, меньше 3″ (исключая аномальные места), и в астрономических задачах ими пренебрегают и не делают различия между астрономической и геодезической широтой.Непосредственно из астрономических наблюдений определяются только астрономические координаты – широта j и долгота l. Из сравнения астрономических координат с геодезическими, а также из гравиметрических измерений определяется уклонение отвеса в данной точке, т.е. несовпадение отвесной линии с нормалью.

Геоцентрическая широта вычисляется по формулам аналитической геометрии, связывающим ее с астрономической (точнее, геодезической) широтой. Разность между геоцентрической и астрономической широтой не превышает 12′; на географических полюсах и на экваторе Земли она равна нулю.