О форме и размерах Земли и применяющихся в геодезии системах координат

§ 5. Сведения о фигуре Земли

Физическая поверхность Земли, являющаяся сочетанием материков и водных пространств, в геометрическом отношении представляет собой сложную форму, ее нельзя представить ни одной из известных и математически изученных геометрических фигур. На ней моря и океаны занимают около 71 %. а суша около 29 %. Если поверхность океанов и соединяющихся с ними морей почти почти ровная, то их дно и суша представляет разнообразные сочетания поверхностей – возвышенностей и углублений.

Если бы Земля находилась в неподвижном состоянии, представляла бы однородное тело, подвергалась бы только действию внутренних сил тяготения, ела бы форму шара. А так как Земля вращается вокруг своей оси с постоянной скоростью, то под действием центробежной силы она приняла форму сфероида или эллипсоида вращения, представляющего тело, полученное от вращения эллипса вокруг его малой оси.

Изучением формы и размеров Земли занимается наука «Высшая геодезия».

Задачи высшей геодезии подразделяются на научные и научно- технические.

Главной научной задачей высшей геодезии является изучение фигуры (т.е. формы и размеров) и внешнего гравитационного поля Земли. Решение этой задачи включает:

1) определение вида и размеров математически правильной поверхности, достаточно хорошо представляющей фигуру Земли в целом. Такой поверхностью признается поверхность эллипсоида вращения с малым сжатием; он называется земным эллипсоидом. Определение поверхности земного эллипсоида заключается в установлении параметров, характеризующих его размер, форму и расположение (ориентирование ) в теле Земли.

2) изучение действительной формы Земли и ее внешнего гравитационного поля. Под действительной фигурой Земли понимается реальная физическая поверхность. Изучение действительной фигуры Земли заключается в определении геометрических величин, характеризующих отступление ее поверхности от поверхности установленного земного эллипсоида.

Рис. 2

Если уровень морей и океанов в их спокойном состоянии мысленно продолжить под материки (Рис. 2), то образуется тело – геоид, близкое к форме Земли («гео» – земля; «ид» – подобие), но поверхность геоида не имеет математического выражения. Исходя из этого за математическую фигуру Земли принят Земной эллипсоид, имеющий небольшие отступления от поверхности геоида (Рис. 3)

Рис. 3

Внешнее гравитационное поле Земли изучают по такому же принципу, как и фигуру Земли: сначала определяют гравитационное поле тела, близкого к Земле, за которое также принимается эллипсоид вращения, затем определяют отступление гравитационного поля реальной Земли от гравитационного поля выбранного эллипсоида.

Гравитационное поле Земли и фигура Земли неразрывно связаны между собой, и их изучение представляет собой одну задачу. Практически задача изучения фигуры Земли сводится к определению координат точек ее поверхности в единой, общей для всей Земли, системе, а задача изучения внешнего гравитационного поля Земли – к определению потенциала силы тяжести на поверхности Земли в ее внешнем пространстве в той же координатной системе. Под фигурой Земли понимается поверхность геоида. Геоид – тело, образованное уровенной поверхностью, совпадающей в океане с невозмущенной поверхностью воды, мысленно продолженной под материки таким образом, что направления отвесных линий пересекают эту поверхность во всех ее точках под прямым углом.[9]. Эта уровенная поверхность является непрерывной, замкнутой, всегда выпуклой. Поскольку фигура геоида зависит от неизвестного поля распределения масс внутри Земли, то она, строго говоря, неопределима. Это было показано советским ученым М.С.Молоденским, предложившим основной задачей геодезии считать изучение фигуры Земли на основании выполненных на земной поверхности измерений без привлечения каких-либо гипотез о внутреннем ее строении.

В теории М.С.Молоденского вводится вспомогательная поверхность квазигеоида, совпадающая с геоидом на океанах и морях и весьма мало отступающая от поверхности геоида на суше (менее 2 метров).

Вывод параметров земного эллипсоида производится под условием возможной его близости к квазигеоиду. Поверхность квазигеоида играет роль «уровня моря» и от нее ведется счет топографических высот. Таким образом, вместо изучения поверхности геоида, теория М.C. Молоденского требует определения фигуры квазигеоида. Но если ранее изучение фигуры геоида ставилась как основная задача геодезии, не получавшая точного и строгого решения, то поверхность квазигеоида вводится лишь как вспомогательная и точно определяется. По теории М.C. Молоденского все геодезические задачи получают строгое решение и необходимости в изучении фигуры геоида не возникает.

Изучение фигуры Земли представляет одну из важнейших проблем естествознания; знание форм и размеров Земли представляет большой научный и практический интерес не только для геодезии, но и для многих смежных наук – астрономии, геологии, географии и др.

Для решения многочисленных практических задач геодезии в конечном счете необходимы координаты отдельных точек земной поверхности в выбранной системе. Эти координаты непосредственно из измерений не определяются, а получаются из вычислений по результатам измерений. Но для вычисления координат точек земной поверхности и других ее элементов – площадей отдельных фигур, расстояний, направлений, разностей высот между заданными пунктами, и решения других геодезических задач по результатам непосредственных измерений необходимо знание этой поверхности, то есть ее формы и размеров. Однако, физическая поверхность Земли крайне сложна и использовать эту поверхность при математическом решении геодезических задач невозможно. Поэтому при решении математических задач геодезии используют поверхность эллипсоида (выражаемую простым уравнением), решение задач на которой уже не представляет трудностей. Желательно весьма, чтобы эллипсоид имел наибольшую близость к фигуре Земли в целом. Такой эллипсоид называется обычным земным эллипсоидом и определяется следующими условиями:

1. совпадение центра эллипсоида с центром тяжести Земли и плоскости его экватора с плоскостью земного экватора:

2. минимум суммы квадратов отклонений по высоте квазигеоида во всех его точках от поверхности эллипсоида.

В отдельных странах (или группе стран) применяются при обработке геодезических измерений эллипсоиды, выведенные по результатам геодезических работ, охватывающих территорию данной страны (или части ее) или нескольких стран. Такие «рабочие» эллипсоиды называются референц – эллипсоидами. Референц – эллипсоиды отличаются от общего земного эллипсоида. Это различие заключается в несовпадении размеров и центров с размерами и центрами общего земного эллипсоида, а условие минимума суммы квадратов отклонений выполняется для референц – эллипсоида не для всей поверхности Земли, а только для той части, на которой были выполнены геодезические работы, результаты которых использованы для вывода его параметров. Поэтому референц – эллипсоид можно рассматривать как эллипсоид, подходящий только для части поверхности Земли. Вследствие несовпадения центров референц – эллипсоида и реальной Земли, малая ось референц – эллипсоида не совпадает с осью вращения Земли, но параллельна последней; также не совпадают, а параллельны плоскости их экваторов. С какой бы степенью точности не были определены параметры референц – эллипсоида, его поверхность никогда не совпадет с поверхностью Земли или геоида (квазигеоида). Расстояние между поверхностями земного эллипсоида и геоида (квазигеоида) достигают в отдельных местах – 150 метров, а высота точек земной поверхности относительно эллипсоида – сотен и тысяч метров. Поэтому при математической обработке геодезических измерений просто «заменить» земную поверхность эллипсоидом нельзя, необходимо результаты измерений, выполненных на земной поверхности, предварительно спроектировать на поверхность эллипсоида путем введения соответствующих поправок за переход. «Отнесенные» таким образом величины – результаты непосредственных геодезических измерений – на поверхность эллипсоида уже можно подвергать строгой математической обработке, используя зависимости, существующие между отдельными элементами поверхности эллипсоида. Поэтому такие эллипсоиды и называются референц – эллипсоидами и эллипсоидами относимости. Такие эллипсоиды служат координатной поверхностью, на которой решаются геодезические задачи и относительно которых определяются геодезические координаты пунктов. Геодезические координаты определяются направлением нормалей к поверхности эллипсоида.

§ 6. Основные параметры земного эллипсоида и соотношения между ними

На рисунке 4 изображен эллипсоид вращения с центром в точке О, осью вращения РР1 и плоскостью экватора OEAE1. Введем обозначение:

a – экваториальная или большая полуось эллипсоида

а = ОЕ = ОЕ1= ОА

b – полярная или малая ось эллипсоида

b = OP=OP₁

Рис. 4

(1)

(2)

(3)

Параметры а и b или а и являются основными, определяющими эллипсоид вращения; остальные – вспомогательные, применяемые в вычислениях и теоретических выводах.

Для эллипсоида Красовского:

а = 6378245,00000

в = 6356863,01877ъ

с = 6399698,90178 ( с – полярный радиус кривизны, равный )

§7. Геодезическая система координат

Координатными плоскостями, т.е. плоскостями, относительно которых определяют координаты точек пространства, являются плоскость экватора и земного эллипсоида и плоскость, меридиана, принятого за начальный. Плоскость экватора проходит через центр эллипсоида ”0” перпендикулярно его оси вращения РР1. Плоскость, проходящая через нормаль (Mn) к поверхности эллипсоида в данной точке и параллельная его малой оси “b” называется плоскостью меридиана этой точки. В качестве начального принят меридиан, плоскоть которого проходит через центр Гринвичской обсерватории, находящейся вблизи Лондона.

Координатными линиями являются меридианы и параллели.

Меридиан – это линия пересечения поверхности земного эллипсоида и меридианной плоскости.

Параллель – это линия пересечения поверхности земного эллипсоида и плоскости, проходящей через данную точку и параллельной плоскости экватора.

Пусть на рис. 5 РЕР1Е1 меридианный эллипс, проходящий через точку начала счета долгот (Гринвич), РMRP1 – меридиан, проходящий через данную точку М.

Рис. 5

Геодезической широтой точки M называется острый угол B, образованный нормалью Mn к поверхности эллипсоида в данной точке и плоскостью экватора ERE1.

Геодезической долготой L точки M будем называть двугранный угол, образованный плоскостью меридиана, PMP1 , проходящего через данную точку и плоскостью начального меридиана (он лежит в плоскости экватора ЕОR).

Широта B и долгота L вполне определяют положение точки M на поверхности эллипсоида.

Система геодезических координат находит широкое применение в теоретических выводах и вычислениях как научного, так и практического характера. Эта система имеет ряд достоинств:

а) едина для всей поверхности эллипсоида и, таким образом, объединяет в общий для всей земной поверхности координатной системе геодезические, съемочные и картографические материалы;

б) не требует каких-либо дополнительных и вспомогательных построений. Координатные линии в этой системе – меридианы и параллели непосредственно относятся к поверхности эллипсоида и их использование для составления карт и объединения всех картографических съемочных материалов в единое целое удобно даже в том случае, если территория этих съемок не представляет сплошного массива;

в) определяет положение нормалей к поверхности принятого референц-эллипсоида, что весьма важно и удобно при исследовании фигуры Земли, определении уклонений отвесных линий и проведении других исследований научного и практического характера. [16].

Геодезические координаты относятся к математически правильной поверхности эллипсоида вращения, принимаемого при геодезических вычислениях, в отличие от астрономических широт и долгот, которые относятся к уровенной поверхности. Если геодезическую широту мы определяем как угол между нормалью к поверхности эллипсоида в данной точке и плоскостью экватора, то астрономическую широту мы определяем как угол между отвесной линией в данной точке и плоскостью экватора; соответственно астрономической долготой называется двугранный угол, образованный между плоскостью нулевого меридиана и плоскостью астрономического меридиана данной точки (плоскость астрономического меридиана – плоскость, проходящая через отвесную линию в этой точке и параллельная оси вращения Земли).

В геодезических работах различиями между астрономическими и геодезическими координатами никогда не пренебрегают; более того эти различия, вызываемые уклонениями отвесных линий выбором размеров референц-эллипсоида и ориентировки его, являются предметом особого изучения.

В мелкомаштабных картографических работах различиями между астрономическими и геодезическими координатами при известных условиях можно пренебречь и употреблять широты и долготы как координаты общей системы географических координат.

Однако, применение геодезических координат для практических целей сопряжено с рядом трудностей, а именно:

1) положение пунктов определяется в угловых единицах, в то время как все расстояния на местности вычисляются (или измеряются) в линейной мере;

2) значение одних и тех же угловых единиц соответствует разным линейным величинам в зависимости от широты;

3) использование геодезических координат связано со сложными вычислениями. [16]

Таким образом, возникла необходимость выбора такой координатной системы, которая по простоте и удобству использования могла бы найти применение во всех геодезических работах. Такой системой является система плоских прямоугольных координат в проекции Гаусса.

§8. Поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса. Плоская прямоугольная система координат

Решение геодезических задач в этой системе выполняется по простым формулам аналитической геометрии, для чего необходимо предварительно элементы поверхности эллипсоида тем или иным способом спроектировать на плоскость. Такое проецирование будет сопровождаться неизбежными искажениями, а их величина и характер зависят от вида выбранной поверхности.

Для крупномасштабного картографирования и инженерной геодезии наиболее удобны проекции, обеспечивающие наилучшее сохранение подобного изображения фигур при переходе от эллипсоида на плоскость. Это станет возможным, если земную поверхность разделить на части (зоны), а затем изобразить всю ее на плоскости. Возникающие при этом искажения будут малы и легко учитываться.

Таким требованиям отвечает принятая в СССР с 1928 года поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера. Эту проекцию Гаусс предложил в 1825 – 1830 г.г., в 1912 году Крюгер разработал детали применения и дал рабочие формулы для вычислении в этой проекции.

Сущность проекции Гаусса-Крюгера заключается в следующем.[7]

Поверхность земного эллипсоида разбивают меридианами на сферические двуугольники – зоны через 60 (рис 6).

Рис. 6

Мысленно располагают такой эллипсоид в цилиндре так, чтобы осевой меридиан первой зоны касался боковой поверхности цилиндра (рис.7).

Рис. 7

Ось цилиндра «y» располагается поперек малой оси эллипсоида (поэтому проекция называется поперечно-цилиндрической), а ось «x», в отличие от математики, в геодезии располагается на север. Из центра эллипсоида все точки(T,E,Z,M,K… ) шестиградусной зоны проектируют по отвесным линиям на боковую поверхность цилиндра (t,e,Z,m,k…). Затем вращательно-поступательно перемещают эллипсоид в цилиндре таким образом, чтобы осевой меридиан второй зоны касался боковой поверхности цилиндра и все точки на граничных меридианах этой зоны проектируют аналогично. И так далее проектируют все 60 зон эллипсоида.

Разрезав цилиндр по образующим АА1 и ВВ1 и развернув половину его боковой поверхности, получают изображение земной поверхности на плоскости в виде отдельных зон, соприкасающихся одна с другой лишь в точках по экватору. (Рис. 8).

Ось цилиндра и линия экватора лежат в одной плоскости и после развертки изобразятся прямой линией – ось «y». Ось «x» располагается перпендикулярно оси «y», совпадает с осевым меридианом зоны и малой осью эллипсоида. Таким образом, осевой меридиан и экватор изображаются взаимно-перпендикулярными прямыми линиями. После развертки поверхности эллипсоида, спроектированной на боковую поверхность цилиндра, получаются разрывы земной поверхности, заметные в северном и южном полушариях по широте более 580 (рис.8). Шестиградусные зоны нумеруются арабскими цифрами с запада на восток, начиная от Гринвичского меридиана. Долготу осевого меридиана (0) любой зоны можно определить по формуле:

λ₀ = 6⁰N – 3⁰(4)

где N – номер зоны.

Рис.8

За начало счета координат в каждой зоне принимается пересечение изображений осевого меридиана – оси абсцисс «x» и экватора «y». Показанные на рис. 8 линии, параллельные изображению осевого меридиана (в нужной зоне) и экватора, образуют прямоугольную систему координат. Координаты (x и y) могут иметь знаки «+» и «-». Так как территория России расположена севернее экватора, то все «x» будут положительные; «y» – западнее осевого меридиана будут иметь отрицательные значения. Во избежание путаницы в знаках, то есть, чтобы ординаты были положительными, точкам осевого меридиана условно присваивается значение 500 км или осевой меридиан каждой зоны условно переносится на 500 км на запад (рис. 9).

Тогда ординаты получают условные значения и называются преобразованными у́_А, у́_Д . Впереди измененной ординаты записывается номер зоны, в которой находится данная точка.

Рис. 9

§ 9. Зависимость между сферическими прямоугольными координатами эллипсоида и плоскими прямоугольными координатами в проекции Гаусса

Главные радиусы кривизны в данной точке эллипсоида.

Если бы Земля имела форму шара радиуса R, то кривизна ее поверхности во всех точках была бы постоянной и одинаковой, равной , а координаты любой точки на ее поверхности зависели бы от B и L (рис. 5).

В действительности, как было отмечено выше, Земля близка по форме к эллипсоиду вращения с разными размерами полуосей (§6). Таким образом, кривизна земной поверхности меняется от точки к точке, а значит координаты любой точки будут зависеть не только от B и L , но и от кривизны земной поверхности, то есть от главных радиусов кривизны эллипсоида [9].

Через нормаль к поверхности эллипсоида (рис. 5) можно провести бесчисленное множество плоскостей. Эти плоскости, перпендикулярные к касательной плоскости к поверхности эллипсоида в данной точке, называются нормальными. Кривые, образуемые от пересечения нормальных плоскостей, проведенных в данной точке, с поверхностью эллипсоида, называются нормальными сечениями. В каждой точке эллипсоида существуют два взаимно перпендикулярных нормальных сечения, кривизна которых имеет максимальное и минимальное значение; эти нормальные сечения называются главными нормальными сечениями.

В некоторой точке M (рис 10) поверхности земного эллипсоида главными нормальными сечениями, как известно из дифференциальной геометрии, являются:

Рис.10

-меридианальное сечение, проходящее через данную точку M, и оба полюса эллипсоида P и P1 (на рис. 10 меридианальное сечение в точке M представляются эллипсом PME1P1E);

-сечение первого вертикала, проходящее через точку M и перпендикулярное меридианальному сечению точки M.

Сечение первого вертикала изображено на рис. 9 кривой WME, представляющей собой также эллипс. Обозначим через M и N радиус кривизны меридиана и первого вертикала и запишем соответственно [9]:

(5)

(6)

где a – большая полуось эллипсоида;

e² – квадрат первого эксцентриситета меридианального сечения;

B – геодезическая широта точки M.

Зависимость между сфероидическими и плоскими прямоугольными координатами.

Точка A (рис. 11) на земном эллипсоиде имеет сферические координаты ХА , YА и расположена в 6-ти градусной зоне на некотором удалении (YА) от осевого меридиана.

Рис. 11

Так как по условию проекции осевой меридиан зоны касается боковой поверхности цилиндра, то после проектирования и развертки боковой поверхности цилиндра абсцисса ХА изобразится на плоскости величиной хА без искажений (рис. 12), то есть

х_А =Х_А (7)

Ордината YА получает искажение и после проектирования вычисляется по формуле:

(8)

Сферические прямоугольные координаты точки A находятся по формулам:

(9)

(10)

где R – радиус кривизны Земли

φ – широта точки А

l – угловое расстояние точки A от осевого меридиана (разность долгот точки A и осевого меридиана);

Рис. 12

Формулы 9 и 10 справедливы, если Землю принять за шар; в действительности же, мы знаем, Земля близка по форме к эллипсоиду вращения и зависимость между плоскими прямоугольными координатами и сфероидическими координатами намного сложнее.

В литературе [9] приводится сложный вывод этих формул, мы же ограничимся конечным результатом и запишем:

(11)