Экономико-математические модели: сущность и классификация
Одним из основных методов выработки и принятия управленческого решения является построение различного рода моделей и их анализ.
В общем виде под моделью понимается мысленно представляемая или материально реализованная система, которая отображает объект исследования и способна замещать его так, что ее изучение дает адекватную информацию об объекте.
Под моделированием понимается воспроизведение или имитирование какой-либо существующей системы на специально построенном аналоге или модели. Моделирование основывается на существовании аналогии (подобия, сходства) между двумя объектами или явлениями, имеющими зачастую качественно различную природу.
В самом общем смысле модель – это условный образ, схема объекта исследования. Понятие модель связано с наличием сходства между двумя объектами, один из которых может рассматриваться как оригинал, а другой – как его модель. Степень соответствия модели объекту моделирования может быть различной. Модель является важным инструментом научной абстракции, позволяющим выделить в процессе исследования наиболее существенные характеристики изучаемого объекта. В некоторых случаях модель может быть внешне схожа с моделируемым объектом, но отличаться от него какими-либо параметрами (размерами, скоростью передвижения и т.д.). Такие модели принято называть физическими (модель самолета, корабля и т.д.). Физическое моделирование успешно используется в науке и технике.
Модели объектов являются более простыми системами, с четкой структурой, точно определенными взаимосвязями между составными частями, позволяющими более детально проанализировать свойства реальных объектов и их поведение в различных ситуациях.
К моделям выдвигают ряд обязательных требований. Во-первых, модель должна быть адекватной объекту, т.е. как можно более полно соответствовать ему с точки зрения выбранных для изучения свойств. Во-вторых, модель должна быть полной. Это означает, что она должна давать возможность с помощью соответствующих способов и методов изучения исследовать и сам объект, т.е. получить некоторые утверждения относительно его свойств, принципов работы, поведения в заданных условиях.
Математические модели формируют методическую основу расчетов, связанных с обработкой информации, то есть преобразования исходной информации в информационный продукт по заранее описанным алгоритмам.
Математическое моделирование получило широкое распространение в исследовании экономических систем. Это связано с тем, что экономические системы характеризуются сложными количественными взаимозависимостями, которые можно выразить как взаимосвязь множества переменных и которые хорошо поддаются математическому описанию в виде уравнений и неравенств. Используется оно как средство изучения, как инструмент познания экономических явлений. Анализируя уравнения и неравенства, которые описывают количественные взаимосвязи данной системы, мы тем самым анализируем и изучаем саму экономическую систему.
Среди различных систем наиболее сложными являются экономические, правильно описать которые можно лишь в том случае, если достаточно подробно, хорошо познаны количественные связи между отдельными факторами и степень их влияния друг на друга и на конечные результаты производства. Поэтому модель должна с большей или меньшей точностью отражать реальные процессы и взаимосвязи экономической системы и ограничения, накладываемые на нее внешними условиями. Модель должна опираться на достоверную информацию. Однако ни одна, даже самая сложная модель не может до мельчайших подробностей отразить все стороны моделируемой системы. В процессе построения модели не следует стремиться к описанию многочисленных связей, присущих моделируемой системе, поскольку не всегда точно известна количественная природа всех связей и зависимостей исследуемой системы; кроме того, это может так усложнить и перегрузить модель, что решение с ее помощью конкретной экономической задачи окажется невозможным. Поэтому математическое моделирование предполагает абстрагирование, отвлечение от несущественных сторон моделируемого объекта и, следовательно, описание наиболее характерных закономерных его черт. Однако и абстрагирование имеет свои пределы, за которыми модель становится слишком условной, что не позволяет получить практически приемлемое решение. Следовательно, в процессе моделирования необходимо определить пределы абстрагирования.
При этом надо учитывать, что любая экономико-математическая модель представляет собой диалектическое единство количественной и качественной характеристик экономического явления. Отсутствие такого единства или его нарушение в модели может привести к нежелательным, а следовательно, и к практически непригодным решениям.
Таким образом, экономико-математическая модель представляет собой концентрированное выражение общих взаимосвязей и закономерностей экономического явления в математической форме.
Процесс моделирования может быть представлен в виде цикла, в котором можно выделить несколько этапов:
- постановка экономической задачи и качественный анализ проблемы.
- построение математической модели.
- математический анализ модели.
- подготовка исходной информации.
- численное решение.
- анализ численных результатов и их применение.
На этапе постановки экономической задачи и качественного анализа проблемы происходит:
- формулирование проблемы и вопросов, на которые требуется получить ответы.
- выявление ключевых черт и свойств моделируемого объекта, абстрагирование от второстепенных;
- изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы;
- формулирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.
На этапе построения математической модели осуществляется:
- выбор математического аппарата реализации модели;
- определение основной конструкции (типа) математической модели;
- формирование системы переменных;
- формирование системы ограничений;
- описание формы связей между переменными и формирование перечня технико-экономических коэффициентов.
Целью математического анализ модели является: выяснение общих свойств модели на основе аналитических исследований. На этом этапе:
- оценивается возможность получения решения;
- определяется количество возможных решений;
- анализируется перечень переменных, которые могут входить в решение;
- исследуются соотношения между переменными, пределы и тенденции их изменения и т.д.
Подготовка исходной информации включает в себя следующие элементы:
- подготовку постоянной (нормативной) информации;
- подготовку условно-постоянной информации;
- обоснование переменной информации.
На этапе численного решения происходит:
- выбор или разработка алгоритмов для численного решения задачи;
- выбор или разработка программы для реализации модели;
- непосредственное проведение расчетов.
В ходе анализа численных результатов и возможности их применения проводится:
- выявление некорректных построений модели;
- неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели;
- сопоставление результатов с уже имеющимися знаниями и фактами действительности для выявления недостатков постановки задачи, математической модели, ее информационного и математического обеспечения.
В системах поддержки принятия решения база моделей должна состоять из стратегических, тактических и оперативных моделей, а также математических моделей в виде совокупности модельных блоков, модулей, алгоритмов и процедур, используемых в качестве элементы для их построения.
Стратегические модели используются для обоснования длительных перспектив развития системы; установления и согласования целей для различных горизонтов планирования; определения объемов ресурсов, необходимых для их достижения; выработки политики формирования и использования ресурсного потенциала. Для стратегических моделей характерны значительная широта охвата, множество переменных, представление данных в сжатой агрегированной форме. Горизонт планирования в стратегических моделях, как правило, измеряется в годах.
Тактические модели применяются для распределения и перераспределения ресурсов в масштабах всей системы в течение производственного цикла или по его завершении. Они служат основой для принятия тактических решений о выборе приемов и методов для адекватного реагирования системы на изменения условий хозяйствования.
Оперативные модели служат для создания информационной основы управления на уровне структурных элементов системы при реализации отдельных оперативных задач.
С точки зрения моделирования можно выделить следующие группы экономических задач:
- хорошо структурированные, в которых основные зависимости могут быть выражены количественно;
- неструктурированные, в которых основные зависимости могут быть описаны лишь качественно;
- слабоструктурированные, которые допускают как количественное, так и качественное описание зависимостей.
Хорошо структурируемые задачи принято называть программируемыми (program – план, программа). Для решения этих задач используют методы математического программирования. Напомним, что математическое программирование – это математическая дисциплина, изучающаяся теорию и методы решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах векторного пространства, заданных с помощью линейных и нелинейных ограничений.
1.1.2. Оптимизационные модели решения задач оптимального выбора
Математические модели, позволяющие определить из области допустимых решений наилучшее решение по заранее заданному критерию, принято называть оптимизационными моделями, а задачи, решаемые с их помощью, – задачами оптимального выбора.
Основными характеристиками задач оптимального выбора являются:
- наличие цели, достижение которой является решением задачи;
- наличие критерия для сопоставления качества альтернатив;
- наличие альтернативных средств достижения цели;
- наличие способов оценки затрат ресурсов, необходимых для каждой альтернативы;
- наличие способа отображения связей между целями, альтернативами и затратами.
В математическом смысле оптимальность понимается как достижение экстремума функции (максимума или минимума), математически описывающей критерий оптимальности.
Критерием оптимальности называется показатель, используемый для сравнительной оценки вариантов допустимых решений (альтернатив).
Основными этапами формализации задач оптимального выбора являются:
1. Формирование системы неизвестных: выявление элементов, описывающих структуру моделируемой системы, и описание их в виде переменных.
2. Формирование системы ограничений: описание в формальном виде условий (ресурсных, организационно-экономических, технологических и т.д.), которые должны быть соблюдены при реализации задачи.
3. Формулирование критерия оптимальности и запись его в виде целевой функции задачи математического программирования.
Общий вид задачи математического программирования:
Z = F(x) ═> min/max
φi(x) ≤ 0, i = 1,2,…,k,
hj(x) = 0, j = k+1, k+2,…, m.
где: x=(х1, х2,…,хn) – система неизвестных;
φi(x), hj(x) – система ограничений;
Z – критерий оптимальности;
F(x) – целевая функция
Если решение X1, X2,… Хn не противоречит ограничениям, принятым в задаче, то его называют допустимым. Допустимое решение, при котором целевая функция принимает экстремальное (максимальное или минимальное решение) считается оптимальным.
Если целевая функция, ограничения, связи между искомыми показателями выражены в виде линейных зависимостей, то оптимизационная модель сводится к задаче линейного программирования. На практике часто целевую функцию выразить в виде линейных зависимостей не удается. Это приводит к необходимости рассмотрения задач нелинейного программирования
Оптимизационные модели (как детерминированные, так и стохастические), описывающие использование земли и основных средств (например, экономико-математические модели по оптимизации размещения производства, его отраслевой структуры, состава и структуры машино-тракторного парка и т.д.), по сути, являются инструментом принятия стратегических решений (параметры определяются на несколько производственных циклов). Модели, предполагающие оптимизацию использования оборотных средств (оптимизация рационов кормления, распределения удобрений и т.д.), обеспечивают информационную основу для принятия тактических и оперативных решений внутри производственного цикла. На практике, модели, используемые для разных горизонтов планирования, можно использовать лишь автономно друг от друга. Так изменения рационов кормления в зависимости от уровня продуктивности скота, являющиеся неотъемлемым условие эффективного управления использования ресурсов, крайне сложно учесть, например, при оптимизации отраслевой структуры производства. Это связано с тем, что стратегические оптимизационные модели являются высокоабстрактными, использующими укрупненные и агрегированные параметры деятельности предприятия. В этих моделях требования к исходной информации достаточно мягкие, так как для стратегических решений более важным являются общие балансы и тенденции, а не точная расчетная величина отдельных показателей.
В настоящее время разработаны и апробированы на различных иерархических уровнях аграрной сферы разнообразные экономико-математи-ческие модели, среди которых следует выделить:
- экономико-математические модели по оптимизации размещения производства;
- экономико-математические модели по оптимизации структуры посевных площадей;
- экономико-математические модели по оптимизации распределения удобрений;
- экономико-математические модели по оптимизации состава и использования машинно-тракторного парка;
- экономико-математические модели по оптимизации структуры и оборота стада;
- экономико-математические модели по оптимизации рационов кормления сельскохозяйственных животных;
- экономико-математические модели по оптимизации использования кормов;
- экономико-математические модели по оптимизации производства и использования кормов;
- экономико-математические модели по оптимизации объемов и структуры инвестиций;
- экономико-математические модели по оптимизации отраслевой структуры производства и др.
1. Раскройте понятия модели и моделирования.
2. Что понимается под переменными и параметрами математических моделей?
3. Раскройте содержание этапов моделирования и опишите цель каждого из них.
4. Раскройте сферы применения стратегических, тактических и оперативных моделей.
5. Какие группы экономических задач можно выделить с точки зрения моделирования?
6. Что относится к характеристикам задач оптимального выбора?
7. Как называется показатель, используемый для сравнительной оценки вариантов допустимых решений (альтернатив)?
8. Как называется формализованный критерий оптимальности, записанный в математическом виде?
9. Назовите этапы формализации задач оптимального выбора?